Versicherungsmathematik & Statistik

1. Grundbegriffe der Versicherungsmathematik

Die Versicherungsmathematik (Aktuarwissenschaft) befasst sich mit der mathematischen Modellierung und Quantifizierung von Risiken in der Versicherungswirtschaft. Sie bildet die Grundlage für die Kalkulation von Prämien, Reserven und Solvenzanforderungen.

1.1 Zentrale Konzepte

Versicherungsrisiko

Die Unsicherheit über Zeitpunkt und Höhe künftiger versicherter Schäden bzw. Leistungen. Das Risiko setzt sich zusammen aus:

Schadenhäufigkeit: Anzahl der Schäden in einem Zeitraum
Schadenhöhe: Höhe des einzelnen Schadens
Gesamtschaden: Summe aller Schäden einer Periode

Erwartungswert des Gesamtschadens

Der Erwartungswert E[S] des Gesamtschadens S wird berechnet als:

E[S] = E[N] × E[X]

wobei N = Anzahl der Schäden und X = Schadenhöhe

1.2 Das Äquivalenzprinzip

Das fundamentale Prinzip der Versicherungsmathematik besagt, dass der Barwert der Prämien dem Barwert der erwarteten Leistungen entsprechen muss:

Äquivalenzprinzip: Barwert(Prämien) = Barwert(Leistungen)

2. Wahrscheinlichkeitstheorie in der Versicherung

2.1 Grundlegende Verteilungen

Poissonverteilung (Schadenhäufigkeit)

Modellierung der Anzahl von Schäden in einem Zeitraum:

P(N = k) = (λ^k / k!) × e^(-λ)
λ = erwartete Anzahl Schäden
E[N] = Var[N] = λ

Exponentialverteilung (Schadenhöhe)

Modellierung der Schadenhöhe bei kleinen bis mittleren Schäden:

f(x) = λ × e^(-λx) für x ≥ 0
E[X] = 1/λ
Var[X] = 1/λ²

Lognormalverteilung (große Schäden)

Häufig verwendet für Schadenverteilungen mit rechtsschiefer Verteilung:

f(x) = (1/(x×σ×√(2π))) × exp(-(ln(x)-μ)²/(2σ²))

2.2 Sicherheitszuschläge

Zur Berücksichtigung von Schwankungen werden Sicherheitszuschläge kalkuliert:

Standardabweichungsprinzip

Prämie = E[S] + α × √Var[S]
α = Sicherheitsparameter (typisch 1,5 - 3)

Value-at-Risk (VaR) Prinzip

Prämie = VaR_α(S) = F_S^(-1)(α)
α = Konfidenzniveau (z.B. 99,5%)

3. Sterbetafeln und Lebenserwartung

3.1 Grundlegende Notation

Sterbetafeln sind das zentrale Instrument der Lebensversicherungsmathematik zur Modellierung der Sterblichkeit:

Symbol	Bedeutung	Berechnung
l_x	Anzahl Lebender im Alter x	aus Sterbetafel
d_x	Sterbefälle zwischen x und x+1	d_x = l_x - l_(x+1)
q_x	Sterbewahrscheinlichkeit im Alter x	q_x = d_x / l_x
p_x	Überlebenswahrscheinlichkeit im Alter x	p_x = 1 - q_x

3.2 Mehrjährige Wahrscheinlichkeiten

n-jährige Überlebenswahrscheinlichkeit:
_np_x = p_x × p_(x+1) × ... × p_(x+n-1) = l_(x+n) / l_x

3.3 Trend der Sterblichkeit

Die Lebenserwartung steigt kontinuierlich. Dies wird durch Longevity Risk (Langlebigkeitsrisiko) beschrieben und muss bei der Kalkulation berücksichtigt werden.

Sterblichkeitstrend

Modellierung mit Verbesserungsfaktoren:

q_x(t) = q_x(0) × (1 - r)^t
r = jährliche Verbesserungsrate (z.B. 2%)

4. Lebensversicherungsmathematik

4.1 Arten von Lebensversicherungen

Produkttyp	Leistungsfall	Typische Dauer
Risikolebensversicherung	Tod während Vertragslaufzeit	10-40 Jahre
Kapitallebensversicherung	Tod oder Vertragsende	15-40 Jahre
Rentenversicherung	Erreichen des Rentenalters	bis Lebensende

4.2 Barwertberechnung

Der versicherungsmathematische Barwert ist der abgezinste erwartete Wert zukünftiger Zahlungen:

Risikolebensversicherung

A_x:n = Σ(t=0 bis n-1) v^(t+1) × _t|q_x × S
v = 1/(1+i) = Diskontierungsfaktor
i = Rechnungszins

4.3 Deckungsrückstellung

Die Deckungsrückstellung zum Zeitpunkt t wächst im Zeitverlauf und wird bei Vertragsablauf zur Auszahlung verwendet.

5. Rentenversicherungsmathematik

5.1 Rentenarten

Rentenart	Beginn	Ende
Sofortrente	Sofort nach Vertragsabschluss	Tod der versicherten Person
Aufgeschobene Rente	Nach Aufschubzeit	Tod der versicherten Person
Zeitrente	Vertraglich festgelegt	Nach festgelegter Zeit

5.2 Rentenfaktor

Der Rentenfaktor gibt an, wie viel monatliche Rente pro 10.000 € Kapital gezahlt wird:

Rentenfaktor = 10.000 / (12 × ä_x)
Monatliche Rente = (Deckungskapital × Rentenfaktor) / 10.000

5.3 Überschussbeteiligung

Versicherungsnehmer partizipieren an den Überschüssen durch:

Verzinsliche Ansammlung: Überschüsse erhöhen das Deckungskapital
Bonusrente: Zusätzliche Rentenzahlungen aus Überschüssen
Sofortbonus: Direkte Auszahlung der Überschüsse

6. Schadenversicherungsmathematik

6.1 Produktarten

Sparte	Typische Merkmale	Schadenmodell
Kfz-Versicherung	Hohe Frequenz, mittlere Höhe	Compound Poisson
Haftpflicht	Niedrige Frequenz, hohe Varianz	Heavy-tailed distributions
Gebäudeversicherung	Sehr niedrige Frequenz, sehr hohe Schäden	Extremwertverteilungen

6.2 Schadenquoten und Kennzahlen

Schadenquote (Loss Ratio)

Schadenquote = (Gezahlte Schäden + Δ Rückstellung) / Verdiente Prämien
Zielwert: typisch 60-75%

Combined Ratio

Combined Ratio = Schadenquote + Kostenquote
< 100%: Versicherungstechnischer Gewinn
> 100%: Versicherungstechnischer Verlust

6.3 Schadenreservierung

Zentrale Herausforderung: Schäden werden oft erst Jahre nach Schadenereignis vollständig abgewickelt.

Chain-Ladder-Methode

Standardmethode zur Schadenreservierung:

Entwicklungsfaktor f_k = Σ C_(i,k+1) / Σ C_(i,k)
Ultimativer Schaden = C_(i,k) × f_k × f_(k+1) × ... × f_n

7. Prämienkalkulation und Beitragssätze

7.1 Komponenten der Bruttoprämie

Bruttoprämie = Nettoprämie + Zuschläge
= Risikoprämie + Sicherheitszuschlag + Kostenzuschlag + Gewinnzuschlag

7.2 Detaillierte Prämienkalkulation

Risikoprämie (Nettoprämie)

Nettoprämie = E[Schaden] = λ × E[X]
λ = erwartete Schadenhäufigkeit
E[X] = erwartete Schadenhöhe

Sicherheitszuschlag

α-Zuschlag = α × σ(Schaden) = α × √Var[S]
typische Werte: α = 1,5 bis 3,0
oder prozentual: α-Zuschlag = p% × Nettoprämie (z.B. 10%)

7.3 Vollständige Formel

Bruttoprämie:
BP = (NP × (1 + α%) + Fix) / (1 - β - γ - δ)

BP = Bruttoprämie
NP = Nettoprämie
α% = prozentualer Sicherheitszuschlag
Fix = Stückkosten
β = Abschlusskostensatz
γ = Verwaltungskostensatz
δ = Gewinnsatz

8. Reservierung und Rückstellungen

8.1 Arten von Rückstellungen

Rückstellung	Zweck	Berechnung
Deckungsrückstellung	Für zukünftige Versicherungsleistungen	Prospektive Methode
Schadenrückstellung	Für bekannte, noch nicht abgewickelte Schäden	Einzelschadenrückstellung
IBNR-Reserve	Für eingetretene, noch nicht gemeldete Schäden	Chain-Ladder
Prämieverdienstung	Für zukünftige Versicherungsleistungen	Zeitlich anteilig

8.2 Prospektive Reservierungsmethode

V_t = (Barwert zukünftige Leistungen) - (Barwert zukünftige Prämien)
Die Rückstellung wächst im Zeitverlauf mit dem Rechnungszins

8.3 Retrospektive Reservierungsmethode

Die Deckungsrückstellung kann auch retrospektiv ermittelt werden als Barwert der bisher eingezahlten Nettoprämien abzüglich bereits erbrachter Leistungen.

9. Rückversicherung und Risikotransfer

9.1 Rückversicherungsarten

Typ	Merkmale	Anwendung
Proportionale RV	Anteilige Aufteilung aller Schäden	Kapazitätserweiterung
Nicht-proportionale RV	Übernahme ab bestimmter Schadenhöhe	Großschadenversicherung
XL (Excess of Loss)	Deckung Schäden über Priorität	Haftpflicht, Property
Aggregate XL	Deckung Gesamtschadenlast über Limit	Portfolioschutz

9.2 Rückversicherungsprämie

Rückversicherungsprämie = Erwartete Leistung × (1 + Zuschlag)
Zuschlag deckt Verwaltung und Gewinn des RV-Gebers

9.3 Kalkulation von XL-Prämien

Für Excess of Loss Rückversicherung mit Priorität (Priority/Deductible) P und Deckungslimit L:

Erwartete Entschädigung = E[max(0, Schaden - P)] - E[max(0, Schaden - (P+L))]

10. Risikometriken und Kapitalanforderungen

10.1 Value at Risk (VaR)

VaR_α = das α-Quantil der Verlustverteilung
z.B. VaR_99% = Wert, dessen Überschreitung mit 1% Wahrscheinlichkeit auftritt

10.2 Expected Shortfall (CVaR)

Das Expected Shortfall misst die durchschnittliche Verlustgröße, wenn der VaR überschritten wird:

ES_α = E[Schaden | Schaden > VaR_α]

10.3 Standard Deviation Risk Measure

RM = E[Schaden] + α × σ[Schaden]
Dies kombiniert erwartete Schäden mit deren Volatilität

10.4 Solvenzkapitalanforderung (SCR)

Das für ein bestimmtes Konfidenzniveau (z.B. 99,5%) erforderliche Kapital zur Risikodeckung über ein Jahr.

11. Solvenz II - Regulatorischer Rahmen

11.1 Solvenz II Säulen

Säule	Inhalt	Fokus
Säule 1	Quantitative Anforderungen (SCR, MCR)	Kapitalanforderungen
Säule 2	Qualitative Anforderungen und Governance	Risikomangement, interne Kontrolle
Säule 3	Transparenz und Berichterstattung	Offenlegung, Aufsichtsberichte

11.2 Standardformel (Solvenz II)

Die Standardformel berechnet SCR als Funktion verschiedener Risikomodule:

SCR = BSCR + Adj + OP

BSCR = Basic Solvency Capital Requirement
Adj = Anpassung für Steuern und rückversicherbare Risiken
OP = Operational Risk

11.3 Deckungsquote und Schwellenwerte

Solvency Ratio

Solvency Ratio = Eligible Own Funds / SCR
> 100%: Erfüllung des SCR
> 50%: Erfüllung des MCR

12. Prognosemodelle und Szenarien

12.1 Stochastische Modelle

Stochastische Modelle ermöglichen die Simulation von Tausenden von Szenarien zur Bestimmung von Verteilungen:

Monte Carlo Simulation für Schätzung von Risikomaßen
Generierung von Zufallsszenarien basierend auf kalibrierter Verteilungsannahmen

12.2 Trend-Extrapolation

Methode	Beschreibung	Anwendung
Lineare Regression	Y = a + b×t	Gleichmäßige Trends
Exponentielles Wachstum	Y = a × e^(b×t)	Beschleunigte Trends
Logistische Kurve	Sättigung nach oben	Marktentwicklung

12.3 Validierung und Backtesting

Modelle müssen regelmäßig validiert werden durch:

Backtesting: Vergleich von prognostizierten mit realisierten Werten
Sensitivitätsanalyse: Testung der Modellannahmen
Stresstesting: Simulation extremer Szenarien

Beispiel: Backtesting eines VaR-Modells

Wenn das Modell VaR_99% korrekt schätzt, sollte der tatsächliche Verlust diesen Wert an etwa 1% der Tage überschreiten.
Regelmäßige Verletzungen deuten auf Modellprobleme hin.